Матрица а равна матрице в с обратным знаком

Линейная алгебра для чайников

Л.А. Шадур В первом столбце кажцой из матриц Ь располагают ординаты т каждой матрицы Ь равно п-степени статической неопределимости рамы, т е. {тХ (и + а)] состоит из матрицы 1. и приписанной с обратным знаком. Например, матрица на рисунке имеет размер "4 на 3", а не "3 на 4". Если все элементы матрицы равны нулю, то это нулевая матрица. . Для тех, кому особо интересно, излагаю, как вычисляется этот знак перестановки . .. 3) (Am)-1=(A-1)m Если найти матрицу, обратную матрице A, а потом эту . Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу.

Далее приведем основные методы решения матриц. Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n-го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы. Методы нахождения определителей 3го порядка. Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка. Правило треугольника при решении матриц.

Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц, можно изобразить таким образом: Правило Саррюса при решении матриц.

Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц. Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц. При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: Теорема Лапласа при решении матриц. Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.

Белоусов описал простой способ нахождения числа инверсий в перестановке. Находим в перестановке число 1 и считаем, сколько чисел слева от. Затем число 1 зачёркиваем. Зачёркнутые числа в дальнейших подсчётах не учитываются. Далее находим число 2, считаем, сколько незачёркнутых чисел слева от.

2 Операции над матрицами и их свойства

Затем находим число 3 и проделываем те же операции, что с числами 1 и 2. И так проходим все числа перестановки. Затем те числа, которые мы запомнили или записали, суммируем. Получаем число инверсий в перестановке. А зачем нужно знать число инверсий в перестановке? У перестановки есть такая характеристика, как знак перестановки, или, не по русски, сигнатура перестановки обозначается как sign.

Для тех, кому особо интересно, излагаю, как вычисляется этот знак перестановки. Он равен -1 число инверсий Если число инверсий чётное, знак равен 1, если нечётное, то На нём матрица и её определитель. Рассмотрим какой-нибудь его член. Он состоит из трёх элементов. Посмотрите на первые цифры их индексов голубые, означают номера строк.

Обратная матрица — Википедия

Теперь так же посмотрите на другие члены определителя. В каждом члене определителя первые цифры образуют последовательность 1, 2, 3. То есть первый элемент члена определителя находится на первой строке, второй на второй, третий на третьей. Теперь посмотрите на жёлтые индексы, то бишь номера столбцов. А здесь какая закономерность, и чем она отличается от предыдушей? В каждом члене определителя одинаковых жёлтых номеров. Это значит, в каждом члене определителя элементы находятся на разных столбцах.

В каждом члене определителя есть и 1, и 2, и 3, но они "перемешаны", то есть образуют перестановку. Вот каждому возможному варианту этой перестановки и соответствует член определителя. Я это попытался графически изобразить на рис.

Смотрим снова на определитель. Некоторые его члены прибавляются к общей сумме, то есть имеют положительный знак, другие, наоборот, отнимаются, знак их отрицательный. Как определить, прибавлять член или отнимать? А вот как - смотрим на жёлтые индексы. В каждом члене они образуют перестановку.

То, что я вам толковал про инверсии и знак перестановки, ещё не вылетело у вас из головы? Если вылетело, снова изучите рис.

Если он положительный, член определителя прибавляется, если отрицательный - отнимается. Белоусов предлагает более удобный способ определить знак члена определителя. Один член выделен синим, определяем его знак. Соединяем элементы отрезками всеми возможными способами. Два отрезка имеют так называемый положительный наклон, один - отрицательный. Что такое положительный наклон отрезка? Если в нём направление перехода на большую строку совпадает с направлением перехода на больший столбец, наклон отрезка положительный, если не совпадает - отрицательный.

Отрезок с отрицательным наклоном соответствует инверсии в перестановке. Так вот, если число отрезков с отрицательным наклоном чётное, член определителя прибавляется, если нечётное, то вычитается. Можете посмотреть, что такое определитель, определение его то бишь, у Белоусова на стр. После определения у Белоусова следуют примеры, внимательно их изучите, разжёвывать их мне неохота. Мы можем сделать некоторые важные выводы. Если какая—либо строка или столбец квадратной матрицы состоит из одних нулей, этот нуль входит множителем во все члены определителя, следовательно определитель равен нулю.

Посчитаем определитель какой - нибудь диагональной матрицы. Да у нас только один член определителя, который состоит только из диагональных элементов, не равен нулю! Определитель диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

А следовательно определитель единичной матрицы равен 1. Вопросы к главе 3 и ответы на них 4 Свойства определителей Давайте сначала определимся с терминами. Когда у Белоусова и у меня будет идти речь о строках и о столбцах определителя, имеются в виду строки и столбцы соответствующей этому определителю матрицы.

При транспонировании матрицы её определитель не меняется. Если интересует доказательство, то к Белоусову стр Из этой теоремы следует важный вывод о равноправии строк и столбцов определителя, то есть если какое - то свойство доказано в отношении строк определителя, то оно действительно в отношении столбцов. При перестановке местами двух строк столбцов матрицы ее определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

Определитель, имеющий две одинаковые строки столбцаравен нулю. Если вам это не очевидно, вдумайтесь. Внимательно читаем и смотрим рис. На нём три матрицы. Отличаются они только одной строчкой строчки выделены разными цветами. Любой из элементов на такой строчке матрицы А можно представить через соответствующие элементы матриц В и С по формуле, что под матрицами. А определитель матрицы А можно найти через определители матриц В и С по такой же формуле, с такими же коэффициентами, с такими же степенями, если таковые.

Вот в этом и суть теоремы 4. Из этой теоремы Белоусов выводит важные следствия и замечания. Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число X равносильно умножению определителя на X. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. У матрицы E две строки одинаковые, значит, её определитель равен нулю.

У матрицы B две строки, голубая и светло-коричневая, пропорциональны. Верхнюю строку матрицы B можно выразить через строку матрицы E, значит, и определитель матрицы B можно выразить через определитель матрицы E, который равен нулю. Из этого следует, что определитель матрицы B равен нулю. И следствие 3 из следствия 2: Определитель не изменится, если к элементам некоторой его строки прибавить соответствующие элементы любой другой строки, умноженные на произвольное число x. Опять же здесь три матрицы, различающиеся только верхней сточкой.

У матрицы F две строки, голубая и розовая, пропорциональны элементы голубой в два раза меньше элементов розовойзначит, её определитель равен нулю. Теперь смотрим матрицу D. Прибавим к светло-коричневой строке матрицы D её же голубую строку, умноженную на 2. А если мы сложим верхние строки матриц D и F, то получим опять же матрицу G. Белоусов доказывает, что эту операцию прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное числоможно проделать несколько раз при условии, что прибавляемые строки будут разными - определитель не изменится.

Определитель произведения матриц Привожу без доказательств теорему, которая доказана в работе Белоусова, и следствия из неё. Определитель произведения двух а также нескольких квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению их определителей.

Определитель целой положительной степени квадратной матрицы равен определителю этой матрицы, возведённому в ту же степень. Однако согласно теореме, определитель у них будет одинаковый. Миноры и алгебраические дополнения Что такое минор? Возьмём какой нибудь элемент квадратной матрицы, например, элемент A22 на рисункепозиция 1. Если у матрицы убрать строку, на которой расположен этот элемент, а также столбец, на котором расположен этот элемент, мы получим матрицу меньшего размера.

Определитель этой матрицы и называется минором элемента обозначается греческой буквой "мю". Обратите внимание, что минор элемента вычислить гораздо легче, чем определитель матрицы.

Если матрица второго порядка рис. Введём ещё понятие - алгебраическое дополнение элемента. Величина алгебраического дополнения зависит от суммы номеров столбца и строки, на которых расположен элемент. Если эта сумма чётная, алгебраическое дополнение равно минору элемента, если нечётная - то минору, взятому с отрицательным знаком. Обозначается алгебраическое дополнение греческой буквой "альфа". Я же изложу его "простым" языком. Если матрицу транспонировать, алгебраические дополнения её элементов переместившихся на другие "места" останутся прежними.

На ней основан эффективный способ нахождения определителей. Эта теорема подтверждает следствие 1 теоремы 4. Две матрицы различаются только одной строкой, причём соответствующие элементы этой строки у матрицы C в два раза больше, чем у матрицы B. Если вычислить определители матриц через алгебраические дополнения этих строк, определитель матрицы C окажется в два раза больше матрицы B.

Общий множитель всех элементов строки матрицы можно вынести за знак определителя. Вычисление определителей Способы вычисления определителя матрицы первого, второго, третьего порядка, изложены выше.

Далее описаны два способа вычисления определителей высших порядков. На нём квадратная матрица четвёртого порядка.

Нам надо эту матрицу привести к треугольному виду рис. Товарищ Белоусов описывал такие матрицы в примерах 4. Я надеюсь, что всем понятно, что такое матрица в треугольном виде. У неё все элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю.

Сначала вспомним два правила. Смотрим на первый столбец первоначальной матрицы. Если бы все его элементы были равны нулю, то всю последущую работу нам не нужно было бы проводить, потому что определитель матрицы с таким столбиком с одними нулями равен нулю. Мы это с вами уже проходили.

В нашей же матрице нам надо добиться, чтобы первый верхний элемент столбика не был равен нулю, а все остальные были равны нулю. Сначала делаем перестановку строк результат на рис. Я сделал перестановку строк два раза, а не один, чтобы знак определителя не изменился. Далее нам надо добиться, чтобы вместо пятерки на нижней зелёной строке появился нуль. Напоминаю, смотрим позицию 3, первый столбец.

Умножаем, прибавляем, и первый столбик приобретает нужный нам вид. Делаем это и получаем матрицу на рис 16, поз. Элементы первой строки в дальнейших преобразованиях уже не участвуют. Первый же столбик от дальнейших преобразований не изменится. Вы в этом убедитесь. Далее преобразуем второй столбик. Если бы все его элементы, расположенные ниже первой строки, были равны нулю, то тогда и определитель был бы равен нулю.

Объяснение для крутых математиков: Нам же придётся добиться, чтобы все элементы второго столбика, расположенные ниже главной диагонали, были равны нулю. Итакпозиция 4. Результат на позиции 5. Второй столбик принимает нужный нам вид рис. Вторая строка в дальнейших преобразованиях не участвует, а второй столбик от них не изменится.

Нам осталось добиться, чтобы нижний элемент третьего столбика был равен нулю. У меня получилось Сначала повторите теорему 5. В четвёртом столбике у неё имеется два нуля, что весьма кстати.

Определитель можно вычислить через алгебраические дополнения элементов этого столбика. Чтобы уменьшить объём вычислений, сначала добъёмся, чтобы все элементы этого столбика, кроме одного, были равны нулю.

Сумма номеров столбца четвёртый и строки пятая является нечётной, поэтому определитель пятого порядка равен -2 определителя четвёртого порядка. Четвёртую строку прибавили ко второй. Сумма номеров третьей строки и второго столбика является нечётной, поэтому определитель пятого порядка равен 2 определителя третьего порядка. Делаем "разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки".

В третьей строке два элемента не равны нулю, и нам придётся вычислить два определителя второго порядка. В результате у меня получилось Посмотрите ещё примеры у Белоусова на стр. Матрица называется обратной к матрицеесли при умножении этих матриц получается единичная матрица того же порядка. Известно, что при умножении матрицы A на B может получиться другая матрица, чем при умножении B на A. Однако математики, в частности профессор Белоусов, доказали, что при умножении обратных матриц в результате получается одна и та же матрица, независимо от порядка их умножения.

Матрица, обратная к матрица A, обозначается так: Оно означает, что определитель матрицы равен нулю. А определил это её папа - полный нуль. А если не равен, то матрица является невырожденной.

Математики доказали, что обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. Как известно, определитель произведения матриц равен произведению их определителей. Из этого следует, что если хотя бы одна умножаемая матрица вырожденная, то и матрица - произведение вырожденная. Мы, однако, знаем, что определитель единичной матрицы равен единице разделстало.

Чтобы найти обратную матрицу, можно проделать следущее: Если он равен нулю, матрица вырожденная, и обратной к ней матрицы не существует. Однако есть более простые способы. Метод нахождения обратной матрицы при помощи элементарных преобразований строк. Она состоит из двух подматриц. Слева - исходная, к ней мы будем находить обратную матрицу.